Il p di Archimede 

Questi valori più o meno approssimati furono usati fino a quando Archimede (III SEC.A.C.) riuscì a calcolare il valore di p con preciso metodo scientifico.Egli partì dalla considerazione, secondo cui la lunghezza della circonferenza è maggiore del perimetro di un qualunque poligono inscritto e minore del perimetro di un qualunque poligono circoscritto e che,pertanto, i perimetri dei poligoni inscritti costituiscono dei valori approssimati per difetto e i perimetri dei perimetri circoscritti sono dei valori approssimati per eccesso della lunghezza della circonferenza.Partendo dall'esagono regolare iscritto e da quello circoscritto utilizzando il metodo di Esaustione, gia noto ai tempi di Eudosso,egli raddoppiò via via il numero dei lati sino a pervenire ai poligoni regolari, inscritto e circoscritto di 96 lati;riuscì così a "imprigionare" il numero p tra due numeri sempre più vicini tra loro e trovò che l'area del cerchio di raggio r era compreso tra (3+10/71)r e (3+10/70)r.In realtà Archimede non riuscì a trovare l'area del cerchio,egli pensava però che aumentando sempre di più il numero dei lati del poligono si potesse esaurire il cerchio.Ma la grande rilevanza concettuale del metodo di Archimede rimane:se è vero che non riuscì a centrare l'obbiettivo del calcolo esatto dell'area del cerchio,è pur vero che il grande mago Siracusano ha indicato la strada maestra che permette di avvicinarsi quanto si vuole, a tale obbiettivo.Dopo Archimede, molti furono i matematici che dedicarono parte dei loro studi a questo strano numero, che venne calcolato con un numero di cifre decimali nella speranza di trovare eventuale periodo.Malgrado tali tentativi, la natura di questo numero rimase sconosciuta fino al 1767 quando il matematico Svizzero Johann Itelurich Lambert dimostrò che lo sforzo per arrivare a un valore esatto di p era inutile: p è un numero irrazionale, cioè decimale limitato non periodico.Nei tempi moderni, con il calcolatore si è giunti a trovare più di 100000 cifre decimali,ovviamente senza alcuna periodicità del numero p. A differenza però di , anch'essi numeri irrazionali p aveva una natura diversa,era si decimale illimitato non periodico ma, a differenza di e non si riesce a costruire con riga e compasso un segmento lungo esattamente p.

Calcolo di  p attraverso la serie ciclometrica

Primo termine

Secondo termine

                    per   -1< x < 1;

Per x=1 e per x=-1 (-1< x <1) la serie è convergente.

Prendiamo ad esempio arctg 1. L'arctg è uguale a 1 quando                 l'angolo è di 45° .

      per  x = 1;

 quindi :